☛ Négation d'une proposition - Implication et équivalence

Définition

Soit P une proposition.
La négation de la proposition P est une proposition qui est vraie lorsque P est fausse et fausse quand P est vraie. On la note : non P.

Exemples

• Soit \(x\)  un nombre réel.
  La proposition « \(x\leqslant2\)  » a pour négation la proposition «  `x>2`  ».
• Soit \(x\)  un nombre réel.
  La proposition « \(x=2\)  » a pour négation la proposition «  \(x\neq 2\) » 
• Soit  `n` un entier naturel.
  La proposition «  `n` est pair » a pour négation «  `n` est impair ».
• Soit la proposition « il existe un élève qui porte des lunettes dans ma classe ».
  La négation de cette proposition est : « pour tout élève dans ma classe, l'élève ne porte pas de lunettes » qui se dit plus correctement « aucun élève ne porte de lunettes dans ma classe ».
• Soit la proposition : « pour tous réels   \(a\) et \(b\)   de l'intervalle   \(I\) , tels que  \(a, \(f(a) \geqslant f(b)\) .  » 
  La négation de cette proposition est : « Il existe des réels   \(a\) et \(b\)   de   \(I\) ,  tels que    \(a    et  \(f(a) < f(b)\) . »

Définition

Soit P et Q deux propositions.
L'implication notée P ⇒ Q  est une proposition qui est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse, et vraie dans tous les autres cas.

Énoncé   Tâche de Wason (d'après IREM de Grenoble)

On dispose de quatre cartes. Sur chacune, une face comporte un nombre entier et l'autre face est colorée. Ces cartes sont posées ainsi. On ne peut pas voir les autres faces des cartes.

On veut savoir si la proposition suivante est vraie : « Si la carte possède un nombre impair sur une face, alors son autre face est bleue », en retournant le minimum de cartes. Quelles sont les cartes à retourner ?

Solution

On doit retourner la première carte. Si son autre face n'est pas bleue, alors la proposition est fausse. Il n'est pas nécessaire de retourner d'autres cartes. Si son autre face est bleue, on doit retourner la troisième carte. Si l'autre face de la troisième carte comporte un entier impair, alors la proposition est fausse. Si l'autre face de la troisième carte comporte un entier pair, il n'est pas nécessaire de retourner d'autres cartes et la proposition est vraie.

Définition

Soit P et Q deux propositions.
L'équivalence notée P ⇔ Q est une proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux  vraies ou toutes les deux fausses, et fausse sinon.